一、题目

1、题目描述

给定正整数 n，找到若干个完全平方数（比如 1, 4, 9, 16, …）使得它们的和等于 n。你需要让组成和的完全平方数的个数最少。

2、示例

示例1：

输入: n = 12
输出: 3
解释: 12 = 4 + 4 + 4.

示例2：

输入: n = 13
输出: 2
解释: 13 = 4 + 9.

二、解题思路

1、思路一

动态规划
动态规划算法与分治法类似,其基本思想也是将待求解问题分解成若干个子问题,先求解子问题,然后从这些子问题的解得到原问题的解。
而这个题求正整数n，我们可以运用动态规划的思想，从1开始，求出直到n的个数最少的完全平方和。
首先声明一个n+1大小的数组dp，那么dp[i]就代表数字i所需的最少完全平方数个数，dp[i]初值设为i，即最差情况就是i个1相加。
声明变量j，j * j就代表平方数，如果dp[i-j * j]+1的个数比dp[i]小，那么dp[i]就设为dp[i-j * j]+1，这里+1的原因是j * j本身也要算一个数。

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2、思路二

BFS广度优先搜索
当每一次都可以判断出多种情况，有多次的时候就适合用BFS-广度优先遍历
使用BFS应注意：
队列：用来存储每一轮遍历得到的节点；
标记：对于遍历过的节点，应该将它标记，防止重复遍历。
我们将它第一个平方数可能出现的情况做分析只要 i * i < n 就行
再在此基础上进行二次可能出现的平方数分析
注意：为了节省遍历的时间，曾经（ n - 以前出现的平方数）这个值出现过，则在此出现这样的数时直接忽略。

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3、一个有意思的思路

看到评论里这个思路的时候，默默感叹吃了没文化的亏，评论里给出了一个数学定理，没仔细研究，有兴趣可以看看
四平方定理：任何一个正整数都可以表示成不超过四个整数的平方之和。推论：满足四数平方和定理的数n（四个整数的情况），必定满足 n=4^a(8b+7)

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三、代码

1、思路一代码

Code

class Solution {
    public int numSquares(int n) {
        int[] dp=new int[n+1];
        dp[0]=0;
        for(int i=1;i<=n;i++){
            dp[i]=i;
            for(int j=1;j*j<=i;j++){
                if((dp[i-j*j]+1)
                    dp[i]=dp[i-j*j]+1;
                }
            }
        }
        return dp[n];
    }
}

2、思路二代码

Code

public class NumSquares {
	private class Node {
		int val;
		int step;

		public Node(int val, int step) {
			this.val = val;
			this.step = step;
		}
	}

	public int numSquares(int n) {
		Queue queue = new LinkedList<>();
		queue.add(new Node(n, 1));
		boolean record[] = new boolean[n];
		while (!queue.isEmpty()) {
			int val = queue.peek().val;
			int step = queue.peek().step;
			queue.remove();
			// 每一层的广度遍历
			for (int i = 1;; i++) {
				int nextVal = val - i * i;
				// 说明已到最大平方数
				if (nextVal < 0)
					break;

				// 由于是广度遍历，所以当遍历到0时，肯定是最短路径
				if(nextVal == 0)
					return step;
				
				// 当再次出现时没有必要加入，因为在该节点的路径长度肯定不小于第一次出现的路径长
				if(!record[nextVal]){
				   queue.add(new Node(nextVal,step + 1));
				   record[nextVal] = true;
				}
			}
		}
		return -1;
	}

}

3、思路三代码

Code

def numSquares(self, n):
        """
        :type n: int
        :rtype: int
        """
        while n % 4 == 0: 
            n /= 4 
        if n % 8 == 7: 
            return 4 
        a = 0 
        while a**2 <= n: 
            b = int((n - a**2)**0.5) 
            if a**2 + b**2 == n: 
                return (not not a) + (not not b) 
            a += 1 
        return 3

本文涉及引用来自于leetcode
作者：EiletXie
链接：https://leetcode-cn.com/problems/perfect-squares/solution/yan-du-you-xian-sou-suo-java-by-eiletxie/
来源：力扣（LeetCode）